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Exakter Funktor ist ein mathematischer Begriff aus der Kategorientheorie.

• Definition

• Beispiele

• Einzelnachweise

Ein additiver, kovarianter Funktor F : C → → D {\displaystyle F:{\mathfrak {C}}\rightarrow {\mathfrak {D}}} heißt

• halbexakt, falls F A → → F A ′ → → F A ″ {\displaystyle FA\rightarrow FA'\rightarrow FA''} exakt ist

• linksexakt, falls 0 → → F A → → F A ′ → → F A ″ {\displaystyle 0\rightarrow FA\rightarrow FA'\rightarrow FA''} exakt ist

• rechtsexakt, falls F A → → F A ′ → → F A ″ → → 0 {\displaystyle FA\rightarrow FA'\rightarrow FA''\rightarrow 0} exakt ist

• exakt, falls 0 → → F A → → F A ′ → → F A ″ → → 0 {\displaystyle 0\rightarrow FA\rightarrow FA'\rightarrow FA''\rightarrow 0} exakt ist

für alle kurzen exakten Sequenzen 0 → → A → → A ′ → → A ″ → → 0 {\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow A'\rightarrow A''\rightarrow 0} in C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} .cite-ref-1[1]cite-ref-2[2]

Ein kontravarianter Funktor F : C → → D {\displaystyle F:{\mathfrak {C}}\rightarrow {\mathfrak {D}}} heißt halb/links/rechts/exakt, falls er dies als kovarianter Funktor C o p → → D {\displaystyle {\mathfrak {C}}^{op}\rightarrow {\mathfrak {D}}} ist.

Halbexakte Funktoren zwischen abelschen Kategorien sind additive Funktoren.cite-ref-3[3]

• Die Hom-Funktoren H o m ( A , − − ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (A,-)} und H o m ( − − , B ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (-,B)} sind linksexakt.

• Die Tensorprodukt-Funktoren ( A ⊗ ⊗ − − ) {\displaystyle (A\otimes -)} und ( − − ⊗ ⊗ B ) {\displaystyle (-\otimes B)} sind rechtsexakt.

• Der Funktor „globale Schnitte“ auf der Kategorie der Garben von abelschen Gruppen in die Kategorie der abelschen Gruppen ist linksexakt, siehe Garbenkohomologie.

• Für eine endliche Gruppe G {\displaystyle G} ist der Funktor „G-Invarianten“ von der Kategorie der G {\displaystyle G} -Moduln in die Kategorie der abelschen Gruppen linksexakt, siehe Gruppenkohomologie.

• Der Dualraum-Funktor in der Kategorie der Banachräume mit den stetigen linearen Abbildungen als Morphismen ist exakt, wie sich aus dem Satz vom abgeschlossenen Bild ergibt.

• Für eine beliebige natürliche Zahl n > 1 {\displaystyle n>1} ist der Funktor

A b → → A b , M ↦ ↦ n M {\displaystyle {\mathfrak {Ab}}\to {\mathfrak {Ab}},\quad M\mapsto nM}

auf der Kategorie der abelschen Gruppen additiv und erhält Mono- und Epimorphismen, ist jedoch nicht exakt.

cite-note-11. ↑ Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra. American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Definition 3.1.

cite-note-22. ↑ Götz Brunner: Homologische Algebra. B.I.-Wissenschaftsverlag, 1973, ISBN 3-411-014420-2, Kapitel III, Definition 32.

cite-note-33. ↑ Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra. American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Satz 3.2.